Question

20．已知函數f（x）=（${\sqrt{3}$cosx-sinx）（cosx+$\sqrt{3}$sinx），則下面結論中錯誤的是（　　）

• A． 函數f（x）的最小正周期為π
• B． 函數f（x）的圖象關于直線$x=\frac{π}{12}$對稱
• C． 函數f（x）的圖象可由g（x）=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到
• D． 函數f（x）在區間$[{-\frac{π}{4}，0}]$上是增函數

Answer 1

分析 將f（x）化簡，結合三角函數的性質求解即可．

解答 解：函數$f（x）=（{\sqrt{3}cosx-sinx}）（{cosx+\sqrt{3}sinx}）$，
化簡可得：f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+3sinxcosx-sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．∴A對．
令x=$\frac{π}{12}$，即f（$\frac{π}{12}$）=2sin（$\frac{π}{2}$）=2，∴關于直線$x=\frac{π}{12}$對稱，B對．
函數g（x）=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，可得：2sin2（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）≠f（x），∴C不對．
令$-\frac{π}{2}≤$2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$上單調遞增，可得：$-\frac{5π}{12}≤x≤\frac{π}{12}$，∴函數f（x）在區間$[{-\frac{π}{4}，0}]$上是增函數，∴D對．
故選：C．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．