Question

5．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，左、右焦點為F₁，F₂，點M為橢圓C上的任意一點，$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$的最小值為2．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）已知橢圓C的左、右頂點為A，B，點D（a，t）為第一象限內的點，過F₂作以BD為直徑的圓的切線交直線AD于點P，求證：點P在橢圓C上．

Answer 1

分析 （I）根據向量的坐標求得$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=x₀²-c²+y₀²，由y₀²=b²-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$x₀²，代入，由x₀=0，則$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$取最小值，最小值為b²-c²，根據橢圓的離心率公式，聯立即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（II）設圓心坐標，求得圓的方程，利用點到直線的距離公式，即可求得k，列方程組，求得P點坐標，即可代入橢圓方程成立，則點P在橢圓C上．

解答 解：（I）設M（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（-c，0），
則$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-c-x₀，y₀），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（c-x₀，y₀），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-c-x₀，y₀）（c-x₀，y₀）=x₀²-c²+y₀²，
由∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，y₀²=b²-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$x₀²，
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）x₀²+b²-c²，
由-a≤x₀≤a，則x₀=0，則$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$取最小值，最小值為b²-c²，
∴b²-c²=2，
由$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴a²=4，b²=3，
則橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（II）證明：由（I）可知F₂（1，0），設以BD為直徑的圓E，其圓心E（2，$\frac{t}{2}$），D（2，t），B（2，0），
則圓E（x-2）²+（y-$\frac{t}{2}$）²=$\frac{{t}^{2}}{4}$，
直線AD的方程為y=$\frac{t}{4}$（x+2），
設過點F₂與圓E相切的直線方程設為x=ky+1，
則$\frac{丨2-\frac{kt}{2}-1丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=丨$\frac{t}{2}$丨，則k=$\frac{4-{t}^{2}}{4t}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t}{4}（x+2）}\\{x=\frac{4-{t}^{2}}{4t}y+1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24-2{t}^{2}}{12+{t}^{2}}}\\{y=\frac{12t}{12+{t}^{2}}}\end{array}\right.$，
將（$\frac{24-2{t}^{2}}{12+{t}^{2}}$，$\frac{12t}{12+{t}^{2}}$）代入橢圓方程成立，即$\frac{（\frac{24-2{t}^{2}}{12+{t}^{2}}）^{2}}{4}$+$\frac{（\frac{12t}{12+{t}^{2}}）^{2}}{3}$=1，
∴點P在橢圓C上．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題．