Question

10．某省高考改革新方案，不分文理科，高考成績實行“3+3”的構成模式，第一個“3”是語文、數學、外語，每門滿分150分，第二個“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6個科目中自主選擇其中3個科目參加等級性考試，每門滿分100分，高考錄取成績卷面總分滿分750分．為了調查學生對物理、化學、生物的選考情況，將“某市某一屆學生在物理、化學、生物三個科目中至少選考一科的學生”記作學生群體S，從學生群體S中隨機抽取了50名學生進行調查，他們選考物理，化學，生物的科目數及人數統計如表：

選考物理、化學、生物的科目數	1	2	3
人數	5	25	20

（I）從所調查的50名學生中任選2名，求他們選考物理、化學、生物科目數量不相等的概率；
（II）從所調查的50名學生中任選2名，記X表示這2名學生選考物理、化學、生物的科目數量之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望；
（III）將頻率視為概率，現從學生群體S中隨機抽取4名學生，記其中恰好選考物理、化學、生物中的兩科目的學生數記作Y，求事件“y≥2”的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）計算“所選取的2名學生選考物理、化學、生物科目數量相等”為事件A，利用對立事件的概率公式計算選考物理、化學、生物科目數量不相等的概率值；
（Ⅱ）由題意知X的可能取值，計算對應的概率值，寫出X的分布列，計算數學期望值；
（Ⅲ）計算所調查的50名學生中物理、化學、生物選考兩科目的學生人數，求出相應的頻率，根據n次獨立重復實驗恰有k次發生的概率，求出對應的概率值．

解答 解：（Ⅰ）記“所選取的2名學生選考物理、化學、生物科目數量相等”為事件A，
則$P（A）=\frac{{C_5^2+C_{25}^2+C_{20}^2}}{{C_{50}^2}}=\frac{20}{49}$，
所以他們選考物理、化學、生物科目數量不相等的概率為
$1-P（A）=\frac{29}{49}$；…（3分）
（Ⅱ）由題意可知X的可能取值分別為0，1，2；
則.$P（X=0）=\frac{{C_5^2+C_{25}^2+C_{20}^2}}{{C_{50}^2}}=\frac{20}{49}$，
$P（X=1）=\frac{{C_5^1C_{25}^1+C_{20}^1C_{25}^1}}{{C_{50}^2}}=\frac{25}{49}$，
$P（X=2）=\frac{{C_5^1C_{20}^1}}{{C_{50}^2}}=\frac{4}{49}$；…（6分）
從而X的分布列為：

X	0	1	2
p	$\frac{20}{49}$	$\frac{25}{49}$	$\frac{4}{49}$

數學期望為$E（X）=0×\frac{20}{49}+1×\frac{25}{49}+2×\frac{4}{49}=\frac{33}{49}$；…（8分）
（Ⅲ）所調查的50名學生中物理、化學、生物選考兩科目的學生有25名，
相應的頻率為$P=\frac{25}{50}=\frac{1}{2}$，
由題意知，Y～$B（{4，\frac{1}{2}}）$；…（10分）
所以事件“Y≥2”的概率為
$P（Y≥2）=C_4^2{（{\frac{1}{2}}）^2}{（{1-\frac{1}{2}}）^2}+C_4^3{（{\frac{1}{2}}）^3}（{1-\frac{1}{2}}）+C_4^4{（{\frac{1}{2}}）^4}=\frac{11}{16}$．…（12分）

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是中檔題．