Question

12．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）-cos²x+$\frac{1}{2}$（x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對角，B為銳角，f（B）=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，BC邊上的中線AM的長為$\sqrt{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）根據f（B）=$\frac{1}{2}$，求出B．利用BC邊上的中線AM的長為$\sqrt{7}$，結合勾股定理求解△ABC的面積．

解答 解：函數f（x）=$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）-cos²x+$\frac{1}{2}$（x∈R）．
化簡可得：f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅰ）$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$．
∴函數f（x）的單調遞增區間為[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（Ⅱ）f（B）=$\frac{1}{2}$，即sin（2B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
B為銳角，
∴B=$\frac{π}{6}$．
又∵A=$\frac{π}{6}$，即a=b．
∴△ABC是等腰三角形．
∴C=$\frac{2π}{3}$
BC邊上的中線AM的長為$\sqrt{7}$，
由三角形的中線定理可得：7=$\frac{2{b}^{2}+2{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，
得：28=2c²+b²…①．
由正弦定理：可得：$\frac{b}{sin\frac{π}{6}}=\frac{c}{sin\frac{2π}{3}}$，即$\sqrt{3}b=c$…②．
由①②可得：b=2，c=2$\sqrt{3}$
那么△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，正余弦定理的計算，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．