Question

4．矩形ABCD中，AB=3，AD=2，P矩形內部一點，且AP=1，若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，則3x+2y的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由已知得|$\overrightarrow{AP}$|²=（x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$）²=9x²+4y²≥（3x+2y）²-$\frac{1}{2}$（3x+2y）²=$\frac{1}{2}$（3x+2y）²，從而得到3x+2y≤$\sqrt{2}$，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標系，則$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$=（3x，2y），從而3x+2y＞1，由此能求出3x+2y的取值范圍．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，P矩形內部一點，且AP=1，$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，
∴|$\overrightarrow{AP}$|²=（x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$）²=9x²+4y²
=（3x+2y）²-12xy≥（3x+2y）²-$\frac{1}{2}$（3x+2y）²
=$\frac{1}{2}$（3x+2y）²
∵|$\overrightarrow{AP}$|²=1，∴$\frac{1}{2}$（3x+2y）²≤1，故3x+2y≤$\sqrt{2}$，
如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標系，
則A（0，0），B（3，0），D（0，2），
∴$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$=x（3，0）+y（0，2）=（3x，2y），
∴由三角形中兩邊和大于第三邊，得：3x+2y＞1，
∴3x+2y的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．
故答案為：$（{1，\sqrt{2}}]$．

點評 本題考查代數和的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意平面向量的性質的合理運用．