Question

15．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知E，F分別是線段AB₁與CA₁上的動點，異面直線AB₁與CA₁所成角為θ，記線段EF中點M的軌邊為L，則|L|等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$|AB₁|
• B． $\sqrt{{\overrightarrow{A{B}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{C{A}_{1}}}^{2}-（\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{C{A}_{1}}）^{2}}$
• C． $\frac{1}{4}$|AB₁|•|CA₁|•sinθ
• D． $\frac{1}{12}$•V${\;}_{{\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}}$（V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積）

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，取特殊點得到M的軌跡為平行四邊形區域，再由三角形面積求解．

解答 解：當E位于B₁，A，而F在A₁C上移動時，M的軌跡為平行于A₁C的兩條線段，
當F位于A₁，C，而E在AB₁上移動時，M的軌跡為平行與AB₁的兩條線段．
其它情況下，M的軌跡構成圖中平行四邊形內部區域．

∴|L|=2×$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{2}$AB₁|•|$\frac{1}{2}$CA₁|•sinθ=$\frac{1}{4}$|AB₁|•|CA₁|•sinθ．
故選：C．

點評 本題考查棱柱的結構特征，考查空間想象能力和思維能力，利用特殊點得到M的軌跡是解答該題的關鍵，是壓軸題．