Question

13．已知F₁，F₂是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且|PF₁|＞|PF₂|，線段PF₁的垂直平分線過F₂，若橢圓的離心率為e₁，雙曲線的離心率為e₂，則$\frac{2}{e_1}+\frac{e_2}{2}$的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． 3
• C． 6
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通過圖象可知F₁F₂=F₂P=2c，利用橢圓、雙曲線的定義及離心率公式可得$\frac{2}{e_1}+\frac{e_2}{2}$的表達式，通過基本不等式即得結論．

解答 解：由題意可知：F₁F₂=F₂P=2c，
又∵F₁P+F₂P=2a₁，F₁P-F₂P=2a₂，
∴F₁P+2c=2a₁，F₁P-2c=2a₂，
兩式相減，可得：a₁-a₂=2c，
∵$\frac{2}{e_1}+\frac{e_2}{2}$=$\frac{2{a}_{1}}{c}$$+\frac{c}{2{a}_{2}}$=$\frac{4{a}_{1}{a}_{2}+{c}^{2}}{2c{a}_{2}}$，
∴$\frac{2}{e_1}+\frac{e_2}{2}$=$\frac{4（2c+{a}_{2}）{a}_{2}+{c}^{2}}{2c{a}_{2}}$=$\frac{8c{a}_{2}+4{{a}_{2}}^{2}+{c}^{2}}{2c{a}_{2}}$=4+2$\frac{{a}_{2}}{c}$+$\frac{c}{2{a}_{2}}$，
∵2$\frac{{a}_{2}}{c}$+$\frac{c}{2{a}_{2}}$≥2$\sqrt{\frac{2{a}_{2}}{c}•\frac{c}{2{a}_{2}}}$=2，當且僅當$\frac{2{a}_{2}}{c}=\frac{c}{2{a}_{2}}$時等號成立，
∴$\frac{2}{e_1}+\frac{e_2}{2}$的最小值為6，
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．