Question

1．已知$λ=3\int_0^1{{x^2}dx}$，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點P為矩形ABCD內一點，則使得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}≥λ$的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 $λ=3\int_0^1{{x^2}dx}$=3×$\frac{1}{3}{x}^{3}{|}_{0}^{1}$=1，將矩形放在坐標系中，設P（x，y）利用向量的數量積公式，作出對應的區域，求出對應的面積即可得到結論．

解答 解：$λ=3\int_0^1{{x^2}dx}$=3×$\frac{1}{3}{x}^{3}{|}_{0}^{1}$=1，
將矩形放在坐標系中，設P（x，y），A（0，0），C（2，1），
則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}≥λ$，即2x+y≥1，
作出不等式對應的區域，為五邊形DCBE，
當y=0時，x=$\frac{1}{2}$，即E（$\frac{1}{2}$，0），
則△ADE的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{4}$，五邊形DCBE的面積S=2-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{4}$
則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}≥λ$的概率P=$\frac{\frac{7}{4}}{2}$=$\frac{7}{8}$，
故選：D．

點評 本題主要考查幾何概型的概率的計算，根據向量數量積的坐標關系，求出對應區域面積，是解決本題的關鍵．