Question

16．設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知S₂=4，a_n+1=2S_n+1，則{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1．

Answer 1

分析 通過a_n+1=2S_n+1與a_n=2S_n-1+1作差可知a_n+1=3a_n（n≥2），進而驗證當n=1時a_n+1=3a_n也成立，從而利用等比數列通項公式計算即得結論．

解答 解：因為a_n+1=2S_n+1，
所以當n≥2時a_n=2S_n-1+1，
兩式相減得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），
又因為S₂=4，a₂=2a₁+1，
所以a₂=3，a₁=1，
所以當n=1時a_n+1=3a_n也成立，
所以數列{a_n}是首項為1、公比為3的等比數列，
所以a_n=3^n-1，
故答案為：a_n=3^n-1．

點評 本題考查數列的通項，考查等比數列及其判定，考查轉化與化歸思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．