Question

6．已知函數f（x）=lnax，其中a＞0，過點A（0，a）作與x軸平行的直線交函數f（x）的圖象于點P，過點P作f（x）圖象的切線交y軸于點B，則△ABP面積的最小值為$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的導數，令lnax=a，求得P的坐標，可得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程，令x=0，可得B的坐標，再由三角形的面積公式可得△ABP面積S，求出導數，以及單調區間和極值，且為最值，即可得到所求值．

解答 解：函數f（x）=lnax的導數為f′（x）=$\frac{1}{x}$，
由題意可令lnax=a，解得x=$\frac{{e}^{a}}{a}$，
可得P（$\frac{{e}^{a}}{a}$，a），
即有切線的斜率為k=$\frac{a}{{e}^{a}}$，
切線的方程為y-a=$\frac{a}{{e}^{a}}$（x-$\frac{{e}^{a}}{a}$），
令x=0，可得y=a-1，
即B（0，a-1），
在直角三角形PAB中，|AB|=1，|AP|=$\frac{{e}^{a}}{a}$，
則△ABP面積為S（a）=$\frac{1}{2}$|AB|•|AP|=$\frac{1}{2}$•$\frac{{e}^{a}}{a}$，a＞0，
導數S′（a）=$\frac{1}{2}$•$\frac{{e}^{a}（a-1）}{{a}^{2}}$，
當a＞1時，S′＞0，S（a）遞增；當0＜a＜1時，S′＜0，S（a）遞減．
即有a=1處S取得極小值，且為最小值$\frac{1}{2}$e．
故答案為：$\frac{1}{2}$e．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區間、極值和最值，注意運用直線方程和構造函數法，考查運算能力，屬于中檔題．