Question

7．已知數列{a_n}滿足a₁=60，a_n+1-a_n=2n，則$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{29}{2}$
• B． 2$\sqrt{60}$
• C． $\frac{29}{4}$
• D． $\frac{102}{7}$

Answer 1

分析 由累加法求出a_n=60+n²-n，所以$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{60}{n}$+n-1，設f（n）=$\frac{60}{n}$+n-1，由此能導出n=8時f（n）有最小值．借此能得到$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值．

解答 解：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2[1+2+…+（n-1）]+60=60+n²-n
所以$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{60}{n}$+n-1
設f（n）=$\frac{60}{n}$+n-1，令f′（n）=$\frac{-60}{{n}^{2}}$+1＞0，
則f（n）在（$\sqrt{60}$，+∞）上是單調遞增，在（0，$\sqrt{60}$）上是遞減的，
因為n∈N₊，所以當n=8時f（n）有最小值．
又因為$\frac{{a}_{8}}{8}$=$\frac{60}{8}+7$=14.5=$\frac{29}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查了遞推數列的通項公式的求解以及構造函數利用導數判斷函數單調性，考查了同學們綜合運用知識解決問題的能力．