Question

19．已知數列{a_n}是各項均為正數的等比數列，且a₂=2，a₃=2+2a₁．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設公比q，q＞0，由題意可知q²-q-2=0，即可求得q的值，利用等比數列的前n項和公式，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知：$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，利用“錯位相減法”即可求得數列{$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$}的前n項和．

解答 解：（1）設等比數列{a_n}的公比q，q＞0由a₂=2，a₃=2+2a₁．則q²-q-2=0，
解得q=2，則a₁=1，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1；
（2）由$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
數列{$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n，則S_n=1+$\frac{3}{{2}^{1}}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-2}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$S_n=1+2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
則S_n=2+2+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n-2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
=2+2×$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$，
數列{$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$}的前n項和為6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查等比數列的性質，等比數列的通項公式，考查“錯位相減法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．