Question

8．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，在直角梯形ABEF中，BE=2，AF=3，BE∥AF，∠BAF=90°，平面ABCD⊥平面ABEF．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面ABEF；
（Ⅱ）求證：CD∥平面AEF；
（Ⅲ）求三棱錐D-AEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AB⊥AC，由此利用平面ABCD⊥平面ABEF，能證明AC⊥平面ABEF．
（Ⅱ）求出CD∥AB，由此能證明CD∥平面AEF．
（Ⅲ）由V_{三棱錐D-AEF}=V_{三棱錐C-AEF}，能求出三棱錐D-AEF的體積．

解答 證明：（Ⅰ）∵在△ABC中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=${1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×\frac{1}{2}$=3，
∴AC²+AB²=BC²，∴AB⊥AC，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
且AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面ABEF．
（Ⅱ）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∵CD?平面ABEF，AB?平面ABEF，
∴CD∥平面AEF．
解：（Ⅲ）連結CF，由（Ⅱ）知CD∥平面AEF，
∴點D到平面AEF的距離等于點C到平面AEF的距離，
由（Ⅰ）知AC=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐D-AEF的體積V_{三棱錐D-AEF}=V_{三棱錐C-AEF}=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×3×1）×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．