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13.已知函數f(x)=$\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}-1}}$為奇函數.
(1)則a=1
(2)函數g(x)=f(x)-$\frac{2}{x}$的值域為(-1,0)∪(0,1).

分析 (1)根據函數奇偶性的定義進行求解即可.
(2)根據函數單調性的性質進行求解即可.

解答 解:(1)根據題意,函數f(x)=$\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}-1}}$,則有f(-x)=$\frac{{e}^{-x}+a}{{e}^{-x}-1}$=$\frac{1+a•{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$,
若函數f(x)為奇函數,則有$\frac{1+a•{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$=-$\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}-1}}$,
分析可得,a=1,
(2)由(1)可得,a=1,則f(x)=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$,
則g(x)=f(x)-$\frac{2}{x}$=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$-$\frac{2}{x}$=1+$\frac{2}{{e}^{x}-1}$-$\frac{2}{x}$,
其中x≠0,
則g(-x)=$\frac{{e}^{-x}+1}{{e}^{-x}-1}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{1+{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$+$\frac{2}{x}$=-($\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$-$\frac{2}{x}$)=-g(x),則函數g(x)為奇函數,
當x>0時,函數為增函數,當x→+∞時,g(x)→1,
即當x>0時,0<g(x)<1,∵函數是奇函數,
∴當x<0時,-1<g(x)<0,
綜上函數的值域為(-1,0)∪(0,1),
故答案為:1,(-1,0)∪(0,1),

點評 本題考查函數奇偶性的性質,關鍵是利用奇偶性求出a的值,利用函數奇偶性和單調性的性質是解決本題的關鍵.

練習冊系列答案
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1.在半徑為R的圓內,作內接等腰△ABC,當底邊上高h∈(0,t]時,△ABC的面積取得最大值$\frac{{3\sqrt{3}{R^2}}}{4}$,則t的取值范圍是[$\frac{3R}{2}$,2R).

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8.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=1,BC=2,∠ABC=60°,在直角梯形ABEF中,BE=2,AF=3,BE∥AF,∠BAF=90°,平面ABCD⊥平面ABEF.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面ABEF;
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18.如圖1,一根長l(單位:cm)的線,一端固定,另一端懸掛一個小球,小球擺動時,離開平衡位置的位移s(單位:cm)與時間t(單位:s)的函數關系是:s=3cos($\sqrt{\frac{g}{l}}$t+$\frac{π}{3}$),t∈[0,+∞),(其中g≈1000cm/s2);

(1)當t=0時,小球離開平衡位置的位移s是多少cm?
(2)若l=40cm,小球每1s能往復擺動多少次?要使小球擺動的周期是1s,則線的長度應該調整為多少cm?
(3)某同學在觀察小球擺動時,用照相機隨機記錄了小球的位置,他共拍攝了300張照片,并且想估算出大約有多少張照片滿足小球離開平衡位置的距離(位移的絕對值)比t=0時小球離開平衡位置的距離小.為了解決這個問題,他通過分析,將上述函數化簡為f(x)=3cos(x+$\frac{π}{3}$),x∈[0,2π).請幫他在圖2中畫出y=f(x)的圖象并解決上述問題.

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(1)當m=1時,求函數f(x)的單調增區間;
(2)若對任意的x1∈[1,e],總存在x2∈[1,e],使$\frac{f({x}_{1})}{{x}_{1}}$•$\frac{g({x}_{2})}{{x}_{2}}$=-1,其中e是自然對數的底數.求實數m的取值范圍.

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2.如果隨機變量ξ~B(6,$\frac{1}{2}$),則P(ξ=3)的值為(  )
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3.若x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y-2≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$,則z=3x-4y的最小值為-1.

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