Question

3．已知函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+ax-5$在[-1，2]上不單調，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． [-3，1）
• B． （-3，0）
• C． （-3，1）
• D． （-3，1]

Answer 1

分析 求出函數的導數，得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：對函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+ax-5$求導可得，f′（x）=x²-2x+a
函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+ax-5$在[-1，2]上不單調，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）＞0}\\{f′（1）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）＜0}\\{f′（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3+a＞0}\\{-1+a＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1+a＜0}\\{a＞0}\end{array}\right.$解得：-3＜a＜1，
故選：C．

點評 本題主要考查了函數的單調性與函數導數的關系的應用，是一道中檔題．