Question

13．設M、N分別是直線1₁：kx+y-k-4=0與直線l₂：x-ky+2=0所過的兩個定點，Q為線段MN的中點，P為直線1₁與直線l₂的交點，則|PQ|=（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 法一：求出M（1，4），N（-2，0），從而Q（-$\frac{1}{2}$，2），再求出P（$\frac{{k}^{2}+4k-2}{{k}^{2}+1}$，$\frac{3k+4}{{k}^{2}+1}$），利用兩點間距離公式能求出|PQ|的值．
法二：求出M（1，4），N（-2，0），從而Q（-$\frac{1}{2}$，2）∵P為直線1₁與直線l₂的交點，再由直線1₁：kx+y-k-4=0與直線l₂：x-ky+2=0垂直，
直角三角形斜邊的中線為斜邊的一半，能求出|PQ|．

解答 解法一：M、N分別是直線1₁：kx+y-k-4=0與直線l₂：x-ky+2=0所過的兩個定點，
直線1₁：kx+y-k-4=0整理為（x-1）k+（y-4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{y-4=0}\end{array}\right.$，得M（1，4），
直線l₂：x-ky+2=0中，由$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，得N（-2，0），
∵Q為線段MN的中點，∴Q（-$\frac{1}{2}$，2），
∵P為直線1₁與直線l₂的交點，
∴聯立$\left\{\begin{array}{l}{kx+y-k-4=0}\\{x-ky+2=0}\end{array}\right.$，得P（$\frac{{k}^{2}+4k-2}{{k}^{2}+1}$，$\frac{3k+4}{{k}^{2}+1}$），
∴|PQ|=$\sqrt{（\frac{{k}^{2}+4k-2}{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3k+4}{{k}^{2}+1}-2）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
解法二：M、N分別是直線1₁：kx+y-k-4=0與直線l₂：x-ky+2=0所過的兩個定點，
直線1₁：kx+y-k-4=0整理為（x-1）k+（y-4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{y-4=0}\end{array}\right.$，得M（1，4），
直線l₂：x-ky+2=0中，由$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，得N（-2，0），
∵Q為線段MN的中點，∴Q（-$\frac{1}{2}$，2），
∵P為直線1₁與直線l₂的交點，
直線1₁：kx+y-k-4=0與直線l₂：x-ky+2=0垂直，
直角三角形斜邊的中線為斜邊的一半，
∴|PQ|=$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{1}{2}\sqrt{（1+2）^{2}+（4-0）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查兩點間距離的求法，考查直線方程、中點坐標公式、兩點間距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．