Question

8．直線y=kx+1（k∈R）與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有兩個公共點，則m的取值范圍為（1，5）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 分類討論，根據橢圓焦點位置，由直線y=kx+1恒過點（0，1），要使直線與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有兩個公共點，則只需（0，1）必在橢圓內部，即可求得m的取值范圍．

解答 解：當橢圓的焦點在x軸上時，則0＜m＜5時，
直線y=kx+1恒過點（0，1），要使直線與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有兩個公共點，
則（0，1）必在橢圓內部，即$\sqrt{m}$＞1，則m＞1，
當橢圓的焦點在y軸上，則m＞5，
直線y=kx+1恒過點（0，1），要使直線與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有兩個公共點，
則（0，1）必在橢圓內部，顯然成立，
則m＞5，
綜上可知：m的取值范圍：（1，5）∪（5，+∞），
故答案為：（1，5）∪（5，+∞）．

點評 本題考查橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系，考查分類討論思想，屬于基礎題．