Question

4．已知數列{a_n}是等差數列，其前n項和為S_n，數列{b_n}是公比大于0的等比數列，且b₁=-2a₁=2，a₃+b₂=-1．S₃+2b₃=7．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令C_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n為奇數}\\{\frac{-2{a}_{n}}{{b}_{n}}，}&{n為偶數}\end{array}\right.$，求數列{C_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁=-1，b₁=2，$\left\{\begin{array}{l}{d+q=0}\\{3d+{4q}^{2}=10}\end{array}\right.$可解得d=-2，q=2，于是可求得數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n為奇數}\\{\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}，n為偶數}\end{array}\right.$，設A=c₂+c₄+…+c_2n═$\frac{3}{{2}^{1}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{4n-1}{{2}^{2n-1}}$，則$\frac{1}{4}$A=$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{4n-5}{{2}^{2n-1}}$+$\frac{4n-1}{{2}^{2n+1}}$，利用錯位相減法可求得A=$\frac{26}{9}$-$\frac{12n+13}{9{•2}^{2n-1}}$，從而可求得數列{C_n}的前n項和T_2n．

解答 解：（Ⅰ）a₁=-1，b₁=2，$\left\{\begin{array}{l}{d+q=0}\\{3d+{4q}^{2}=10}\end{array}\right.$，…2分
解得d=-2，q=2，…4分
故a_n=-2n+1，b_n=2ⁿ，…6分
（Ⅱ）∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n為奇數}\\{\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}，n為偶數}\end{array}\right.$…7分
設A=c₂+c₄+…+c_2n，
則A=$\frac{3}{{2}^{1}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{4n-1}{{2}^{2n-1}}$，…8分
$\frac{1}{4}$A=$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{4n-5}{{2}^{2n-1}}$+$\frac{4n-1}{{2}^{2n+1}}$…9分
兩式相減得：$\frac{3}{4}$A=$\frac{3}{2}$+4（$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$）-$\frac{4n-1}{{2}^{2n+1}}$…10分
=$\frac{3}{2}$+4•$\frac{\frac{1}{8}-\frac{1}{{2}^{2n+1}}}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{4n-1}{{2}^{2n+1}}$=$\frac{13}{6}$-$\frac{12n+13}{3{•2}^{2n+1}}$…11分
∴A=$\frac{26}{9}$-$\frac{12n+13}{9{•2}^{2n-1}}$…12分
T_2n=$\frac{26}{9}$-$\frac{12n+13}{9{•2}^{2n-1}}$+2n…13分

點評 本題考查數列的求和，考查等差數列與等比數列的通項公式的運用及錯位相減法求和，考查方程思想與等價轉化思想的綜合運用，考查運算能力，屬于難題．