Question

9．不等式|2a-b|+|a+b|≥|a|（|x-1|+|x+1|）對于任意不為0的實數a，b恒成立，則實數x的范圍為（　　）

• A． $（-∞，-\frac{1}{2}]∪[\frac{1}{2}，+∞）$
• B． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$
• C． $（-∞，-\frac{3}{2}]∪[\frac{3}{2}，+∞）$
• D． $[-\frac{3}{2}，\frac{3}{2}]$

Answer 1

分析 由絕對值不等式的性質可得|2a-b|+|a+b|≥3|a|，再由所給的條件可得3|a|≥|a|（|x-1|+|x+1|），即3≥|x-1|+|x+1|．再根據絕對值的意義求得3≥|x-1|+|x+1|的解集．

解答 解：由絕對值不等式的性質可得|2a-b|+|a+b|≥|2a+b+（a-b）|=3|a|，
再由不等式|2a-b|+|a+b|≥|a|（|x-1|+|x-1|）恒成立，可得3|a|≥|a|（|x-1|+|x+1|），
故有3|a|≥|a|（|x-1|+|x-1|），即3≥|x-1|+|x+1|．
而由絕對值的意義可得|x-1|+|x+1|表示數軸上的x對應點到1和-1對應點的距離之和，而-$\frac{3}{2}$和$\frac{3}{2}$對應點到1和-1對應點的距離之和正好等于3，
故3≥|x-1|+|x+1|的解集為[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
故選：D．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，屬于中檔題．