Question

1．在半徑為R的圓內，作內接等腰△ABC，當底邊上高h∈（0，t]時，△ABC的面積取得最大值$\frac{{3\sqrt{3}{R^2}}}{4}$，則t的取值范圍是[$\frac{3R}{2}$，2R）．

Answer 1

分析 設圓內接等腰三角形的底邊長為2x，高為h，則x²=h（2R-h），得到S²=x²h²=h³（2R-h）=-h⁴+2Rh³，（0＜h＜2R），構造函數（h）=-h⁴+2Rh³，（0＜h＜2R），利用導數求出函數的最值，即可得到t的范圍．

解答 解：設圓內接等腰三角形的底邊長為2x，高為h，則x²=h（2R-h），
∵S_△ABC=xh，
∴S²=x²h²=h³（2R-h）=-h⁴+2Rh³，（0＜h＜2R），
令f（h）=-h⁴+2Rh³，（0＜h＜2R），
∴f′（h）=-4h³+6Rh²=2h²（3R-2h），
令f′（h）=0，解得h=$\frac{3R}{2}$，
當0＜h＜$\frac{3R}{2}$時，f′（h）＞0，函數f（h）單調遞增，
當$\frac{3R}{2}$＜h＜2R時，f′（h）＜0，函數f（h）單調遞減，
∴f（h）_max=f（$\frac{3R}{2}$）=$\frac{27{R}^{4}}{16}$，
∴S_max=$\frac{3\sqrt{3}{R}^{2}}{4}$，
∴h=$\frac{3R}{2}$∈（0，t），
∴t的范圍為[$\frac{3R}{2}$，2R），
故答案為：[$\frac{3R}{2}$，2R）．

點評 本題主要考查了利用導數研究函數的最值，考查了學生的分析問題，解決問題的能力，屬于中檔題