Question

10．三角形ABC中，E為AC的中點，$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，且$\overrightarrow{AD}$與$\overrightarrow{EB}$夾角為120°，|$\overrightarrow{AD}$|=1，|$\overrightarrow{BE}$|=2，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{32}{25}$．

Answer 1

分析 分別根據向量的加減的結合意義，用$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}$表示出$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，再根據向量數量積運算即可求出．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
∴2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AD}$，①
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BE}$，
∴$\overrightarrow{AC}$-2$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{BE}$，②，
由①②可得$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BE}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BE}$+$\frac{6}{5}$$\overrightarrow{AD}$，
∵$\overrightarrow{AD}$與$\overrightarrow{EB}$夾角為120°，|$\overrightarrow{AD}$|=1，|$\overrightarrow{BE}$|=2，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{BE}$|•cos（180°-120°）=1×2×$\frac{1}{2}$=1，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（-$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BE}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BE}$+$\frac{6}{5}$$\overrightarrow{AD}$）
=-$\frac{8}{25}$${\overrightarrow{BE}}^{2}$+$\frac{18}{25}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{18}{25}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=-$\frac{8}{25}$×4+$\frac{18}{25}$×1-$\frac{18}{25}$×1=-$\frac{32}{25}$，
故答案為：-$\frac{32}{25}$

點評 本題考查了平面向量加減運算以及數量積的定義運用，屬于中檔題．