Question

19．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支與焦點為F的拋物線x²=2py（p＞0）交于A，B兩點，若|AF|+|BF|=4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．

Answer 1

分析 把x²=2py（p＞0）代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得：a²y²-2pb²y+a²b²=0，利用根與系數的關系、拋物線的定義及其性質即可得出．

解答 解：把x²=2py（p＞0）代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
可得：a²y²-2pb²y+a²b²=0，
∴y_A+y_B=$\frac{2p{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y_A+y_B+2×$\frac{p}{2}$=4×$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{2p{b}^{2}}{{a}^{2}}$=p，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴該雙曲線的漸近線方程為：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
故答案為：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．

點評 本題考查了拋物線與雙曲線的標準方程定義及其性質、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．