Question

3．設數列{a_n}的前n項和為S_n，若點${A_n}（{n，\frac{S_n}{n}}）$在函數f（x）=-x+c的圖象上運動，其中c是與x無關的常數，且a₁=3．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記${b_n}={a_{a_n}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）將A_n代入直線方程，則S_n=-n²+cn，由a₁=3，即可求得c的值，由a_n=S_n-S_n-1，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）即可求得數列{b_n}的通項公式，根據等差數列的前n項和公式，即可求得T_n，根據二次函數的性質，即可求得數列{b_n}的前n項和T_n的最小值．

解答 解：（1）點${A_n}（{n，\frac{S_n}{n}}）$在函數f（x）=-x+c的圖象上運動，則$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c，
則S_n=-n²+cn，
由a₁=3，則a₁=-1+c，c=4，
∴S_n=-n²+4n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+4n）-[-（n-1）²+4（n-1）]=-2n+5，
當n=1時，滿足上式，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=-2n+5；
（2）${b_n}={a_{a_n}}$=-2a_n+5=-2（-2n+5）+5=4n-5，
∴數列{b_n}為等差數列，
則數列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{n（_{1}+_{n}）}{2}$=2n²-3n，
則當n=1時，T_n取最小值，最小值為T₁=-1，
∴數列{b_n}的前n項和T_n的最小值-1．

點評 本題考查等差數列的通項公式及前n項和公式，考查數列的最值，等差數列前n項和最值的求法，考查計算能力，屬于中檔題．