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3.設數列{an}的前n項和為Sn,若點${A_n}({n,\frac{S_n}{n}})$在函數f(x)=-x+c的圖象上運動,其中c是與x無關的常數,且a1=3.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)記${b_n}={a_{a_n}}$,求數列{bn}的前n項和Tn的最小值.

分析 (1)將An代入直線方程,則Sn=-n2+cn,由a1=3,即可求得c的值,由an=Sn-Sn-1,即可求得數列{an}的通項公式;
(2)由(1)即可求得數列{bn}的通項公式,根據等差數列的前n項和公式,即可求得Tn,根據二次函數的性質,即可求得數列{bn}的前n項和Tn的最小值.

解答 解:(1)點${A_n}({n,\frac{S_n}{n}})$在函數f(x)=-x+c的圖象上運動,則$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c,
則Sn=-n2+cn,
由a1=3,則a1=-1+c,c=4,
∴Sn=-n2+4n,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(-n2+4n)-[-(n-1)2+4(n-1)]=-2n+5,
當n=1時,滿足上式,
∴數列{an}的通項公式an=-2n+5;
(2)${b_n}={a_{a_n}}$=-2an+5=-2(-2n+5)+5=4n-5,
∴數列{bn}為等差數列,
則數列{bn}的前n項和Tn=$\frac{n(_{1}+_{n})}{2}$=2n2-3n,
則當n=1時,Tn取最小值,最小值為T1=-1,
∴數列{bn}的前n項和Tn的最小值-1.

點評 本題考查等差數列的通項公式及前n項和公式,考查數列的最值,等差數列前n項和最值的求法,考查計算能力,屬于中檔題.

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