Question

18．設拋物線E：y²=4x的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點P作l的垂線，垂足為A，設B（7，0），PF與AB交于點C，若△PBC的面積為2$\sqrt{2}$，則|PC|：|CF|=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意設|PC|：|CF|=1：t，由拋物線的焦半徑公式比例關系求得P點坐標，則S_△PFB=（1+t）2$\sqrt{2}$，根據三角形的面積公式，列方程即可求得t的值．

解答 解：設拋物線E：y²=4x的焦點為F（1，0），準線x=-1，設P（x_P，y_P），
設|PC|：|CF|=1：t，則t丨PC丨=丨CF丨，丨AP丨=丨PF丨=x_P+1，
由AB∥x軸，則丨AP丨：丨FB丨=|PC|：|CF|=$\frac{1}{t}$，即$\frac{1+{x}_{P}}{7-1}$=$\frac{1}{t}$，
則x_P=$\frac{6-t}{t}$，y_P=2$\sqrt{\frac{6-t}{t}}$，
由|PC|：|CF|=1：t，則S_△PBC：S_△FBC=1：t，
∴S_△PFB=（1+t）2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×丨FB丨×y_P=（1+t）2$\sqrt{2}$，即$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{\frac{6-t}{t}}$=（1+t）2$\sqrt{2}$，
整理得：2t³+4t²+11t-54=0，解得：t=2，
∴|PC|：|CF|=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查拋物線的性質，考查相似三角形的性質，考查數形結合思想，考查計算能力，屬于中檔題．