Question

9．已知棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積和體積．

Answer 1

分析 由等邊三角形的面積計算公式可得：△SAB的面積=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²．即可得出四面體S-ABC的表面積．設O為△ABC的中心，延長AO交BC于點D，連接SO，SD，則SO⊥底面ABC，D為BC的中點．可得AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=SD，OD=$\frac{1}{3}$AD，AO=$\sqrt{S{D}^{2}-O{D}^{2}}$．利用V_S-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC×SO即可得出．

解答 解：如圖所示，
由等邊三角形的面積計算公式可得：△SAB的面積=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²．
∴四面體S-ABC的表面積為4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=4$\sqrt{3}$．
設O為△ABC的中心，延長AO交BC于點D，連接SO，SD，則SO⊥底面ABC，D為BC的中點．
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$=SD，OD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$×2=$\sqrt{3}$，
∴AO=$\sqrt{S{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC×SO=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$4×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質及其面積計算公式、正三棱錐的性質、線面垂直的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．