Question

19．已知圓C：（x+1）²+y²=8，點A（1，0），P是圓C上任意一點，線段AP的垂直平分線交CP于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與曲線E相交于M，N兩點，O為坐標原點，求△MON面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據橢圓的定義和性質，建立方程求出a，b即可．
（2）聯立直線和橢圓方程，利用消元法結合設而不求的思想進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵點Q 在線段AP 的垂直平分線上，∴|AQ|=|PQ|．
又|CP|=|CQ|+|QP|=2$\sqrt{2}$，∴|CQ|+|QA|=2$\sqrt{2}$＞|CA|=2．
∴曲線E是以坐標原點為中心，C（-1，0）和A（1，0）為焦點，長軸長為2$\sqrt{2}$ 的橢圓．
設曲線E 的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）．
∵c=1，a=$\sqrt{2}$，∴b²=2-1=1．
∴曲線 E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$ 消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
此時有△=16k²-8m²+8＞0．
由一元二次方程根與系數的關系，得x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，．
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$$•\sqrt{8（2{k}^{2}-{m}^{2}+1）}$
∵原點O到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$-，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}|MN|•d$=$\frac{\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$．$\sqrt{{m}^{2}（2{k}^{2}-{m}^{2}+1）}$，由△＞0，得2k²-m²+1＞0．
又m≠0，
∴據基本不等式，得S_△MON=$\frac{\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$．$\sqrt{{m}^{2}（2{k}^{2}-{m}^{2}+1）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$$•\frac{{m}^{2}+2{k}^{2}-{m}^{2}+1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當且僅當m²=$\frac{2{k}^{2}+1}{2}$時，不等式取等號．
∴△MON面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查與橢圓有關的軌跡方程問題，以及直線和橢圓的位置關系的應用，利用消元法以及設而不求的數學思想是解決本題的關鍵．，運算量較大，有一定的難度．