Question

11．若tanα=3tanβ，其中0＜β≤α＜$\frac{π}{2}$，則α-β的最大值為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由題意0＜β≤α＜$\frac{π}{2}$，tanβ＞0，利用α-β的正切與tanα=3tanβ，可求得關于tanβ的關系式，利用基本不等式可求得tan（α-β）的最大值，再由正切函數的單調性即可求得答案．

解答 解：∵tanα=3tanβ，又0≤β＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴tanβ＞0，
∴tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{2tanβ}{1+3ta{n}^{2}β}$=$\frac{2}{\frac{1}{tanβ}+3tanβ}$
∵tanβ＞0，
$\frac{1}{tanβ}+3tanβ≥2\sqrt{\frac{1}{tanβ}×3tanβ}$=2$\sqrt{3}$，
∴0＜tan（α-β）≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
又y=tanx在（0，$\frac{π}{2}$）上單調遞增，
（當且僅當3tan²β=1，即$tanβ=\frac{\sqrt{3}}{3}$取等號，此時$β=\frac{π}{6}$，tanα=3tanβ，即tanα=$\sqrt{3}$，此時$α=\frac{π}{3}$）
則α-β的最大值$\frac{π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查兩角差的正切函數及正切函數的單調性，考查基本不等式，考查綜合分析與運算的能力，屬于中檔題．