Question

17．已知函數f（x）=cos$\frac{x}{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（Ⅰ）求f（x）在區間[0，π]內的單調區間；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{2}{5}$，x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，求sinx₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f（x）在區間[0，π]內的單調區間；
（Ⅱ）利用同角三角函數基本關系式以及兩角和與差的三角函數化簡求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=cos$\frac{x}{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=cos$\frac{x}{2}$（$\frac{1}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{x}{2}$）-$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{1+cosx}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（x-$\frac{π}{3}$）．
x∈[0，π]，x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
令t=x-$\frac{π}{3}$，y=sint在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]內的單調增函數；
y=sint在$[\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}]$上單調減函數，
∴f（x）的單調增區間是[0，$\frac{5π}{6}$]，單調減區間是[$\frac{5π}{6}$，π]．
（Ⅱ）f（x₀）=$\frac{2}{5}$，x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x₀）=$\frac{1}{2}$sin（x₀-$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{5}$，
可得sin（x₀-$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，cos（x₀-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（{x}_{0}-\frac{π}{3}）}$=$\frac{3}{5}$，
sinx₀=sin[（x₀-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$$+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

點評 本題考查三角函數的化簡求值，兩角和與差的三角函數，正弦函數的單調區間的求法，考查計算能力．