Question

11．將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱錐D-ABC中，給出下列五個命題：
①△DBC是等邊三角形；  
②AC⊥BD；  
③三棱錐D-ABC的體積是$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$；
④三棱錐D-ABC的表面積是$\sqrt{3}$；    
⑤直線AD與直線BC所成角是30°；
其中正確命題的序號是①②．（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 由題意作出圖形，
①根據圖可知BD=$\sqrt{2}$DO=1，再由BC=DC=1，可知面DBC是等邊三角形．
②由AC⊥DO，AC⊥BO，可得AC⊥平面DOB，從而有AC⊥BD．
③三棱錐D-ABC的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ABC•OD=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•1•1•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
④三棱錐D-ABC的面ABC、ADC為等腰直角三角形，面ADB、CDB為正三角形，則表面積可求；
⑤找出直線AD與直線BC所成角，求解三角形得答案．

解答 解：如圖所示：BD=$\sqrt{2}$DO=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，又BC=DC=1，∴面DBC是等邊三角形，故①正確；
∵AC⊥DO，AC⊥BO，∴AC⊥平面DOB，則AC⊥BD，故②正確；
三棱錐D-ABC的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ABC•OD=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•1•1•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$，故③錯誤；
三棱錐D-ABC的面ABC、ADC為等腰直角三角形，面ADB、CDB為正三角形，表面積S=2×$\frac{1}{2}×1×1$+2×$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故④錯誤；
取DC中點E，過E作EG⊥AC于G，取AB中點F，連接OF，GF，可得EG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，OE=OF=$\frac{1}{2}$，
利用余弦定理求得$F{G}^{2}=\frac{1}{4}+（\frac{3}{4}\sqrt{2}）^{2}-2×\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5}{8}$，∴$EF=\sqrt{\frac{5}{8}+\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos∠EOF=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{3}{4}}{2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$，則直線AD與直線BC所成角是60°，故⑤錯誤．
故答案為：①②．

點評 本題主要考查折疊問題，要注意折疊前后的改變的量和位置，不變的量和位置，屬中檔題．