Question

13．設函數f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若函數f（x）≥m恒成立，求m的最大整數值．

Answer 1

分析 （1）將絕對值符號去掉，函數寫成分段函數，再分段求出不等式的解集，即可確定不等式的解集；
（2）求函數的最小值，即可求出m的最大整數值．

解答 解：（1）函數f（x）=|2x+1|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-5，x≤-\frac{1}{2}}\\{3x-3，-\frac{1}{2}＜x＜4}\\{x+5，x≥4}\end{array}\right.$，|2x+1|-|x-4|＞2，
令-x-5＞2，則x＜-7，∵x≤-$\frac{1}{2}$，∴x＜-7；
令3x-3＞2，則x＞$\frac{5}{3}$，∵-$\frac{1}{2}$＜x＜4，∴$\frac{5}{3}$＜x＜4；
令x+5＞2，則x＞-3，∵x≥4，∴x≥4，
∴f（x）＞2的解集為：{x|x＜-7或x＞$\frac{5}{3}$}；
（2）函數f（x）=|2x+1|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-5，x≤-\frac{1}{2}}\\{3x-3，-\frac{1}{2}＜x＜4}\\{x+5，x≥4}\end{array}\right.$，的圖象如圖：

函數的最小值為：f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{4}$，
函數f（x）≥m恒成立，m的最大整數值為：-5．

點評 本題考查絕對值函數，考查分類討論的數學思想，考查函數的最值，屬于中檔題．