Question

5．喜羊羊家族的四位成員與灰太狼、紅太狼進行談判，通過談判他們握手言和，準備一起照合影像（排成一排）．
（1）要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，有多少種排法？
（2）要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少種排法？
（3）記灰太狼和紅太狼之間的喜羊羊家族的成員個數為ξ，求ξ的概率分布．

Answer 1

分析 （1）要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，應先排四位成員，再全排列；
（2）要求灰太狼、紅太狼不相鄰，應先排四位成員，再插空排列；
（3）記灰太狼和紅太狼之間的喜羊羊家族的成員個數為ξ，知ξ的可能取值，
計算對應的概率值，寫出隨機變量ξ的概率分布列即可．

解答 解：（1）要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，
應先排四位成員，再全排列，有${A}_{4}^{4}$•${A}_{3}^{3}$=24×6=144種排法；
（2）要求灰太狼、紅太狼不相鄰，
應先排四位成員，再插空排列，有${A}_{4}^{4}$•${A}_{5}^{2}$=24×20=480種排法；
（3）記灰太狼和紅太狼之間的喜羊羊家族的成員個數為ξ，則ξ的可能取值為0，1，2，3，4；
計算P（ξ=0）=$\frac{{A}_{2}^{2}{•A}_{5}^{5}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{240}{720}$=$\frac{1}{3}$，P（ξ=1）=$\frac{{A}_{4}^{1}{•A}_{2}^{2}{•A}_{4}^{4}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{192}{720}$=$\frac{4}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{A}_{4}^{2}{•A}_{2}^{2}{•A}_{3}^{3}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{144}{720}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=3）=$\frac{{A}_{4}^{3}{•A}_{2}^{2}{•A}_{2}^{1}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{96}{720}$=$\frac{2}{15}$，
P（ξ=4）=$\frac{{A}_{4}^{4}{•A}_{2}^{2}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{48}{720}$=$\frac{1}{15}$；
則隨機變量ξ的概率分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

點評 本題考查了排列數的計算問題，也考查了離散型隨機變量的分布列問題，是中檔題．