Question

15．正方形ABCD，沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，則折后的異面直線AB與CD所成的角的大小為（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 取BD中點O，連結AO、CO，以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出折后的異面直線AB與CD所成的角．

解答 解：取BD中點O，連結AO、CO，
設正方形ABCD邊長為$\sqrt{3}$，∵沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO⊥CO，
以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，
A（0，0，1），B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{AB}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
設折后的異面直線AB與CD所成的角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD}|}$
=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴折后的異面直線AB與CD所成的角為60°．
故選：C．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．