Question

7．在平面直角坐標系xOy中，設直線y=-x+2與圓x²+y²=r²（r＞0）交于A，B兩點，O為坐標原點，若圓上一點C滿足$\overrightarrow{OC}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}$，則r=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由已知得r²=r²+r²+2r²cos∠AOB，從而∠AOB=90°，求出圓心（0，0）到直線x+y-2=0的距離，由此能求出半徑r．

解答 解：∵直線x+y-2=0與圓x²+y²=r²（r＞0）交于A、B兩點，其中O為坐標原點，C為圓上一點，$\overrightarrow{OC}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}$，
解：由題意可得，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=r，
設$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角是θ，且θ∈[0，π]，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cosθ=r²cosθ，
由題意知：$\overrightarrow{OC}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}$，
則${\overrightarrow{OC}}^{2}$=$\frac{16}{25}{\overrightarrow{OA}}^{2}$+$\frac{9}{25}{\overrightarrow{OB}}^{2}$+2×$\frac{12}{25}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
所以$\frac{16}{25}{r}^{2}+\frac{9}{25}{r}^{2}+\frac{24}{25}{r}^{2}cosθ={r}^{2}$，
化簡cosθ=0，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
設圓心O（0，0）到直線x+y-2=0的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}r$，
則d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}r$，即r=2，
故選：B．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，二倍角的余弦公式，以及向量的數(shù)量積運算的靈活應用，考查了轉化思想，化簡、變形能力．