Question

18．橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上點到直線x+2y-10=0的距離最小值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
• D． 0

Answer 1

分析 設出與直線x+2y-10=0平行的直線方程為直線x+2y+m=0，聯立直線方程與橢圓方程，由判別式等于0求得m值，再由兩點間的距離公式得答案．

解答 解：設與直線x+2y-10=0平行的直線方程為直線x+2y+m=0，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{x+2y-10=0}\end{array}\right.$，得25x²+18mx+9m²-144=0．
由（18m）²-100（9m²-144）=0，得576m²=14400，
解得m=±5．
當m=-5時，直線方程為x+2y-5=0，
此時兩直線x+2y-10=0與直線x+2y-5=0的距離d=$\frac{|-10+5|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上點到直線x+2y-10=0的距離最小值為$\sqrt{5}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與橢圓位置關系的應用，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．