Question

9．已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，1），A，B為拋物線上不重合的兩動點，A，B的中點Q，O為坐標原點，$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-4$，過A，B作拋物線的切線l₁，l₂，直線l₁，l₂交于點M；
（1）求拋物線的方程；
（2）問：直線AB是否過定點，若是，求出定點坐標，若不是，說明理由；
（3）求線段QM距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出p即可求解拋物線方程．
（2）設AB方程為y=kx+t（k顯然存在），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$⇒x2-4kx-4=0，（△＞0恒成立），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理以及判別式通過$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-4$，得l_AB：y=kx+2，得到直線AB過定點T（0，2）．
（3）過A、B的切線方程分別為x₁x=2（y₁+y）…①，x₂x=2（y₂+y）…②
由（2）得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8…③
由①②③得M（2k，-2），易得Q（2k，2k²+2），可得MQ=$\sqrt{（2{k}^{2}+4）^{2}}≥4$，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）∵拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，1），∴p=1，
∴拋物線的方程為x²=4y．
（2）∵F（0，1），設AB方程為y=kx+t（k顯然存在），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$⇒x2-4kx-4t=0，（△＞0恒成立）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4t
由$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-4$得${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+\frac{{（x}_{1}{x}_{2}）^{2}}{16}=-4$，
即t²-4t+4=0，
∴t=2，∴l_AB：y=kx+2，故直線AB過定點T（0，2）．
（3）過A、B的切線方程分別為x₁x=2（y₁+y）…①，x₂x=2（y₂+y）…②
由（2）得）x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8…③
由①②③得M（2k，-2），
易得Q（2k，2k²+2），
∴MQ=$\sqrt{（2{k}^{2}+4）^{2}}≥4$，
∴當k=0時，|QM|_min=4．

點評 通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．