Question

18．已知a∈R，函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax．
（1）若a=4，求y=f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在x=3處取得極值，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）求出函數的導數，根據3是函數y=f（x）的極值點，得到關于a的方程，解出a，求出f（x）的解析式，從而求出切線方程即可．

解答 解：（1）a=4時，f（x）=2x³-15x²+24x，
f′（x）=6x²-30x+24=6（x²-5x+4）（x-4）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜4，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜4，
故f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，4）遞減，在（4，+∞）遞增；
（2）∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
∵3是函數y=f（x）的極值點，
∴f′（3）=0，即6×3²-6（a+1）×3+6a=0，
解得：a=3，
∴f（x）=2x³-12x²+18x，
f′（x）=6x²-24x+18，
則f（0）=0，f′（0）=18，
∴y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程是：y=18x；

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的意義以及分類討論思想，是一道中檔題．