Question

8．平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且點$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在橢圓C上．橢圓C的左頂點為A．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點A作直線l與橢圓C交于另一點B．若直線l交y軸于點C，且OC=BC，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的離心率求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，將（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入橢圓方程，即可求得a和b的值．
（2）依題意，直線l的斜率k存在，設直線l的方程為：y=k（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．利用韋達定理、弦長公式表達且OC=BC，即可解得斜率．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
所以橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由已知得直線l的斜率k存在，故設直線l的方程為：y=k（x+2）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
（（△=（16k²）²-4（1+4k²）（16k²-4）=16＞0恒成立．
令B（x_B，y_B），C（0，y_C），由-2x_B=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，得${x}_{B}=\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$
可得C（0，2k），OC=|2k|，|BC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x_B-0|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$|
且OC=BC，∴|2k|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$|，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$
∴直線l的斜率為$±\frac{\sqrt{2}}{4}$

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，計算能力，屬于中檔題．