Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），右焦點為F（c，0），A（0，2），且|AF|=$\sqrt{7}$，橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設直線l的方程為y=kx+m，當直線l與橢圓C有唯一公共點M時，作OH⊥l于H（O為坐標原點），若|MH|=$\frac{3}{5}$|OM|，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由已知|AF|=$\sqrt{7}$，可得$\sqrt{{c}^{2}+4}=\sqrt{7}$，求得c，再由橢圓離心率求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設M為（x₀，y₀），由|MH|=$\frac{3}{5}$|OM|，利用勾股定理得|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|，聯立直線方程與橢圓方程，由判別式為0可得m與k的關系，并求出M的坐標，得到|OM|，再由點到直線的距離公式求得|OH|，代入|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|即可求得k值．

解答 解：（1）由F（c，0），A（0，2），且|AF|=$\sqrt{7}$，得
$\sqrt{{c}^{2}+4}=\sqrt{7}$，解得c=$\sqrt{3}$，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴a=2，則b²=a²-c²=1，
故橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設M（x₀，y₀），由|MH|=$\frac{3}{5}$|OM|，知|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
令△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，得m²=1+4k²，
且${{x}_{0}}^{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}=\frac{1}{1+4{k}^{2}}$，
∴$|OM{|}^{2}={{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=\frac{1+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
由點到直線距離公式可得|OH|=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
則$|OH{|}^{2}=\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}=\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
由|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|，得|OH|²=$\frac{16}{25}$|OM|²，即16k⁴-8k²+1=0，
解得：${k}^{2}=\frac{1}{4}$，k=$±\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，是中檔題．