Question

4．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一條漸進線平行，并交拋物線于A、B兩點，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，則拋物線的方程為y²=2x．

Answer 1

分析 根據拋物線的定義和雙曲線的定義，不妨設直線AB為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），設A（x₀，y₀）得到|AF|=x₀+$\frac{p}{2}$，表示出x₀，y₀，代入到拋物線的解析式，求出p的值，需要驗證．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的坐標為（ $\frac{p}{2}$，0），準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的漸近線方程為y=$\sqrt{3}$x，
由于過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一條漸近線平行，
并交拋物線于A，B兩點，
不妨設直線AB為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），設A（x₀，y₀），
∴|AF|=x₀+$\frac{p}{2}$，
∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，
∴x₀=2-$\frac{p}{2}$，x₀＞$\frac{p}{2}$，
∴0＜p＜2
∴y₀=$\sqrt{3}$（2-p），
∴3（2-p）²=2p（2-$\frac{p}{2}$），
整理得p²-4p+3=0，
解的p=1或p=3（舍去），
故拋物線的方程為y²=2x，
故答案為：y²=2x．

點評 本題考查了直線和拋物線的關系，以及拋物線和雙曲線的定義和性質，屬于中檔題．