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6.設(shè)函數(shù)f(x)=${e^x}({{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}-6x+2})-2a{e^x}$-x,若不等式f(x)≤0在[-2,+∞)上有解,則實數(shù)a的最小值為(  )
A.$-\frac{3}{2}-\frac{1}{e}$B.$-\frac{3}{2}-\frac{2}{e}$C.$-\frac{3}{4}-\frac{1}{2e}$D.$-1-\frac{1}{e}$

分析 依題意,可得2a≥[$\frac{{e}^{x}({x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2)-x}{{e}^{x}}$]min(x≥-2),構(gòu)造函數(shù)g(x)=$\frac{{e}^{x}({x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2)-x}{{e}^{x}}$=${x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2$-$\frac{x}{{e}^{x}}$,利用導(dǎo)數(shù)法可求得g(x)的極小值g(1)=1+$\frac{3}{2}$-6+2-$\frac{1}{e}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{e}$,也是最小值,從而可得答案.

解答 解:f(x)=${e^x}({{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}-6x+2})-2a{e^x}$-x≤0在[-2,+∞)上有解
?2aex≥${e}^{x}({x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2)$-x在[-2,+∞)上有解
?2a≥[$\frac{{e}^{x}({x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2)-x}{{e}^{x}}$]min(x≥-2).
令g(x)=$\frac{{e}^{x}({x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2)-x}{{e}^{x}}$=${x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2$-$\frac{x}{{e}^{x}}$,
則g′(x)=3x2+3x-6-$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=(x-1)(3x+6+$\frac{1}{{e}^{x}}$),
∵x∈[-2,+∞),
∴當(dāng)x∈[-2,1)時,g′(x)<0,g(x)在區(qū)間[-2,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時g′(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增;
∴當(dāng)x=1時,g(x)取得極小值g(1)=1+$\frac{3}{2}$-6+2-$\frac{1}{e}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{e}$,也是最小值,
∴2a≥-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{e}$,
∴a≥$-\frac{3}{4}-\frac{1}{2e}$.
故選:C.

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題,考查等價轉(zhuǎn)化思想,突出分離參數(shù)法、構(gòu)造法與導(dǎo)數(shù)法的綜合運用,屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
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A.若a5>0,則a2017<0B.若a6>0,則a2018<0
C.若a5>0,則S2017>0D.若a6>0,則S2018>0

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①f(x1)-f(x2)>x1-x2
②x2f(x1)>x1f(x2);
③$\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{2}$<f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$);
④[f′(x1)-f′(x2)]•(x1-x2)>0.
則下列結(jié)論中正確的是②③.

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同步練習(xí)冊答案
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