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15.已知△ABC中,sinA+2sinBcosC=0,則tanA的最大值是(  )
A.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$B.$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$C.$\sqrt{3}$D.$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

分析 sinA+2sinBcosC=0,利用三角形內角和定理與誘導公式可得:sin(B+C)+2sinBcosC=0,展開化為:3sinBcosC+cosBsinC=0,cosC≠0,cosB≠0.因此3tanB=-tanC.可得:B為銳角,C為鈍角.tanA=-tan(B+C)展開代入利用基本不等式的性質即可得出.

解答 解:∵sinA+2sinBcosC=0,∴sin(B+C)+2sinBcosC=0,
∴3sinBcosC+cosBsinC=0,cosC≠0,cosB≠0.
化為3tanB=-tanC.可得:B為銳角,C為鈍角.
∴tanA=-tan(B+C)=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{-(tanB-3tanB)}{1+3ta{n}^{2}B}$
=$\frac{2}{\frac{1}{tanB}+3tanB}$≤$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,當且僅當tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時取等號.
∴tanA的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
故選:A.

點評 本題考查了三角形內角和定理、誘導公式、和差公式、基本不等式的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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