Question

16．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．在以O為極點，Ox為極軸的極坐標系中，曲線C₂：sinθ-ρcos²θ=0．若曲線C₁和曲線C₂相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）求點M（-1，2）到A，B兩點的距離之積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用極坐標與直角坐標的互化方法求曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）利用參數的幾何意義，求點M（-1，2）到A，B兩點的距離之積．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₂：sinθ-ρcos²θ=0，
∴ρsinθ-（ρcosθ）²=0．…（2分）
∴y-x²=0．
∴曲線C₂的直角坐標方程為y=x²．…（5分）
（Ⅱ）把C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入y=x²，得t²+$\sqrt{2}$t-2=0①．…（7分）
設方程①的兩根為t₁，t₂，∴t₁t₂=-2．
∵點M在曲線C₁上，對應的t值為t=0，且A，B兩點對應的t值為t₁，t₂，
∴點M（-1，2）到A，B兩點的距離之積=|t₁t₂|=2．…（10分）

點評 本題考查極坐標與直角坐標的互化，考查參數方程的運用，考查參數的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．