Question

7．已知定義在[0，1]上的函數y=f（x），f′（x）為f（x）的導函數，f（x）圖象如圖，對滿足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁，x₂，給出下列結論：
①f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂；
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）；
④[f′（x₁）-f′（x₂）]•（x₁-x₂）＞0．
則下列結論中正確的是②③．

Answer 1

分析 根據題意可作出函數y=f（x）的圖象，利用直線的斜率的幾何意義，利用數形結合的思想研究函數的單調性與最值即可得到答案．

解答 解：由函數y=f（x）的圖象可得，
對于④當0＜x₁＜x₂＜1時，0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，
[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＞0，故④錯誤；
函數y=f（x）在區間[0，1]上的圖象如圖：
對于①設曲線y=f（x）上兩點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），
直線AB的斜率k_AB=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜k_op=1，
∴f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，故①錯誤；
對于③，由圖可知，k_oA＞k_oB，即$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＞$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，0＜x₁＜x₂＜1，于是有x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），故②正確；
對于④，設AB的中點為R，則R（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$），$\widehat{AB}$的中點為S，則S（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
顯然有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），即③正確．
對于④當0＜x₁＜x₂＜1時，0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＞0，故④錯誤；
綜上所述，正確的結論的序號是②③．
故答案為：②③．

點評 本題考查函數的圖象，著重考查直線的斜率的幾何意義，考察函數的單調性，突出考查作圖象的能力與數形結合解決問題的能力，屬于中檔題．