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1.已知函數f(x)對于任意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且x>0時,f(x)<0.
(1)求證:f(x)在R上是奇函數;
(2)求證:f(x)在R上是減函數;
(3)若f(1)=-$\frac{2}{3}$,求f(x)在區間[-3,3]上的最大值和最小值.

分析 (1)由于f(x)+f(y)=f(x+y),分別令x=y=0,可求得f(0)=0,再令y=-x,即可證得f(x)在R上是奇函數;
(2)任取x1>x2,利用單調函數的定義法,作差f(x1)-f(x2)后轉化,利用x>0時,f(x)<0即可證得f(x)在R上是減函數;
(3)利用(1)(2)知,奇函數f(x)為R上的減函數,再利用f(1)=-$\frac{2}{3}$,即可求得f(x)在[-3,3]上的最大值為與最小值

解答 (1)證明:∵函數f(x)對于任意x,y∈R總有f(x)+f(y)=f(x+y),
令x=y=0得f(0)=0,
令y=-x得f(-x)=-f(x),
∴f(x)在R上是奇函數;
(2)證明:在R上任取x1>x2,則x1-x2>0,
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),
∵x>0時,f(x)<0,f(x1-x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在R上是減函數.
(3)解:∵f(x)是R上減函數,∴f(x)在[-3,3]上也是減函數,
∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分別為f(-3)和f(3),
而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2,
∴f(x)在[-3,3]上的最大值為2,最小值為-2.

點評 本題考查抽象函數及其應用,考查函數奇偶性與單調性的判定,突出考查賦值法,考查運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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