Question

1．已知函數f（x）對于任意x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＞0時，f（x）＜0．
（1）求證：f（x）在R上是奇函數；
（2）求證：f（x）在R上是減函數；
（3）若f（1）=-$\frac{2}{3}$，求f（x）在區間[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由于f（x）+f（y）=f（x+y），分別令x=y=0，可求得f（0）=0，再令y=-x，即可證得f（x）在R上是奇函數；
（2）任取x₁＞x₂，利用單調函數的定義法，作差f（x₁）-f（x₂）后轉化，利用x＞0時，f（x）＜0即可證得f（x）在R上是減函數；
（3）利用（1）（2）知，奇函數f（x）為R上的減函數，再利用f（1）=-$\frac{2}{3}$，即可求得f（x）在[-3，3]上的最大值為與最小值

解答 （1）證明：∵函數f（x）對于任意x，y∈R總有f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x得f（-x）=-f（x），
∴f（x）在R上是奇函數；
（2）證明：在R上任取x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
∵x＞0時，f（x）＜0，f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是減函數．
（3）解：∵f（x）是R上減函數，∴f（x）在[-3，3]上也是減函數，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分別為f（-3）和f（3），
而f（3）=3f（1）=-2，f（-3）=-f（3）=2，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值為2，最小值為-2．

點評 本題考查抽象函數及其應用，考查函數奇偶性與單調性的判定，突出考查賦值法，考查運算能力，屬于中檔題．