Question

9．在區間[0，2π]上任取一個實數α，則該數是方程$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$=-1的解的概率為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 設f（α）=$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$，當α∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（α）=3；當α∈（$\frac{π}{2}$，π）時，f（α）=-1；當α∈（$π，\frac{3π}{2}$）時，f（α）=-1；當α∈（π，2π）時，f（α）=-1．由此能求出該數是方程$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$=-1的解的概率．

解答 解：∵在區間[0，2π]上任取一個實數α，
設f（α）=$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$，
∴當α∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（α）=1+1+1=3；
當α∈（$\frac{π}{2}$，π）時，f（α）=1-1-1=-1；
當α∈（$π，\frac{3π}{2}$）時，f（α）=-1-1+1=-1；
當α∈（π，2π）時，f（α）=-1+1-1=-1．
∴該數是方程$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$=-1的解的概率p=$\frac{2π-\frac{π}{2}}{2π-0}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意三角函數性質、幾何概型的合理運用．