Question

17．已知x為三角形中的最小角，則函數$y=sinx+\sqrt{3}cosx+1$的值域為[$\sqrt{3}+1$，3]．

Answer 1

分析 由x為三角形中的最小內角，可得0＜x≤$\frac{π}{3}$，而$y=sinx+\sqrt{3}cosx+1$=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，結合已知所求的x的范圍可求y的范圍．

解答 解：x為三角形中的最小內角，由三角形的內角和定理可知：
0＜x≤$\frac{π}{3}$，
$y=sinx+\sqrt{3}cosx+1$=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，
由0＜x≤$\frac{π}{3}$，即$\frac{π}{3}$＜x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，
$\sqrt{3}$+1≤2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1≤3，
函數$y=sinx+\sqrt{3}cosx+1$的值域[$\sqrt{3}+1$，3]
故答案為：[$\sqrt{3}+1$，3]．

點評 本題主要考查了輔助角公式的應用，考查三角形的內角和定理的應用，正弦函數的圖象的性質，屬于中檔題．