Question

12．已知二次函數f（x）=ax²+bx+c圖象的對稱軸方程為x=2，且經過點（1，4）和點（5，0），則f（x）的解析式為f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$，．

Answer 1

分析 方法一：根據函數的對稱性設二次函數的兩點式，將（1，4）代入，即可求得a的值，即可求得f（x）的解析式；
方法二：根據二次函數性質，將點代入即可求得a，b和c的值，即可求得f（x）的解析式．

解答 解：方法一：由二次函數的對稱軸為x=2，過點（5，0），則必過點（-1，0），
則二次函數f（x）=a（x+1）（x-5），
將點（1，4）代入，a（1+1）（1-5）=4，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴二次函數f（x）=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-5）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$，
∴f（x）的解析式f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$，
故答案為：f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$，
方法二：由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=2}\\{a+b+c=4}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）的解析式f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$，
故答案為：f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查二次函數解析式的求法，考查待定系數法的應用，屬于基礎題．