Question

7．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經過點（0，1），且離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（Ⅰ）求橢圓C 的方程；
（Ⅱ）直線l₁，l₂ 都過點H（0，m）（m≠0），分別與x 軸相交于D，E，其中D 為OE 的中點（O 為坐標原點）．直線l₁ 與圓x²+y²=$\frac{1}{2}$ 相切，直線l₂ 與橢圓C 相交于M，N，
求證：△OMN 的面積為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設P 為M，N 中點，Q 是橢圓上的點，$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OQ}$ （λ＞0 ），求λ 的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=1，根據橢圓的離心率公式，即可求得a的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）由題意可知：直線l₁的方程y=2kx+m，直線l₂的方程為y=kx+m，利用點到直線的距離公式求得1+4k²=2m²，將直線l₂代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式，即可求得△OMN 的面積1，為定值；
（Ⅲ）根據向量的坐標運算，求得$\frac{{x}_{3}^{2}}{4}+{y}_{3}^{2}={λ}^{2}$，利用中點坐標公式，代入即可求得λ的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則a=2，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由題意可知：直線l₂的斜率存在且不為0，
設l₂的方程為y=kx+m，則E（-$\frac{m}{k}$，0），D（-$\frac{m}{2k}$，0），則直線l₁的方程y=2kx+m，
由直線l₁與圓x²+y²=$\frac{1}{2}$ 相切，則$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即1+4k²=2m²，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=16（1+4k²-m²）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴△OMN 的面積S=$\frac{1}{2}$×丨OH丨×丨x₁-x₂丨=$\frac{1}{2}$×丨m丨×丨x₁-x₂丨，
丨x₁-x₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
則S=$\frac{1}{2}$×丨m丨×丨x₁-x₂丨=$\frac{1}{2}$×丨m丨×$\frac{4\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=1，
∴△OMN 的面積1，為定值；
（Ⅲ）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OQ}$，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=λ{x}_{4}}\\{{y}_{3}=λ{y}_{4}}\end{array}\right.$，
由Q在橢圓上，則$\frac{{x}_{4}^{2}}{4}+{y}_{4}^{2}=1$，則$\frac{{x}_{3}^{2}}{4}+{y}_{3}^{2}={λ}^{2}$，
由（Ⅱ）可得：x₃=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，y₃=kx₃+m=$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$，
代入$\frac{{x}_{3}^{2}}{4}+{y}_{3}^{2}={λ}^{2}$，即
$\frac{1}{4}$（-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$）²+（$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$）²=λ²，化簡整理得：$\frac{{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=λ²，
由1+4k²=2m²，解得：λ²=$\frac{1}{2}$，
由λ＞0，則λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴λ的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，中點坐標公式，韋達定理及弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．