Question

17．某生態公園的平面圖呈長方形（如圖），已知生態公園的長AB=8（km），寬AD=4（km），M，N分別為長方形ABCD邊AD，DC的中點，P，Q為長方形ABCD邊AB，BC（不含端點）上的一點．現公園管理處擬修建觀光車道P-Q-N-M-P，要求觀光車道圍成四邊形（如圖陰影部分）的面積為15（km²），設BP=x（km），BQ=y（km），
（1）試寫出y關于x的函數關系式，并求出x的取值范圍；
（2）若B為公園入口，P，Q為觀光車站，觀光車站P位于線段AB靠近入口B的一側．經測算，每天由B入口至觀光車站P，Q乘坐觀光車的游客數量相等，均為1萬人，問如何確定觀光車站P，Q的位置，使所有游客步行距離之和最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據面積列方程得出y關于x的解析式；
（2）利用導數求出x+y的最大值，從而得出步行距離之和的最大值．

解答 解：（1）∵M，N是AD，CD的中點，AB=8，AD=4，BP=x，BQ=y，
∴S_△AMP=$\frac{1}{2}×2×（8-x）$=8-x，S_△DMN=$\frac{1}{2}×2×4$=4，S_△NCQ=$\frac{1}{2}×4×（4-y）$=8-2y，S_△BPQ=$\frac{1}{2}xy$，
∵觀光車道圍成四邊形（如圖陰影部分）的面積為15（km²），
∴8-x+4+8-2y+$\frac{1}{2}$xy=4×8-15=17，
∴y=$\frac{3-x}{2-\frac{1}{2}x}$=$\frac{6-2x}{4-x}$．
令0＜y＜4，即0＜$\frac{6-2x}{4-x}$＜4，解得0＜x＜3或5＜x＜8．
（2）由題意可知0＜x＜3，
∴x+y=x+$\frac{6-2x}{4-x}$=x+2-$\frac{2}{4-x}$，
令f（x）=x+2-$\frac{2}{4-x}$，則f′（x）=1-$\frac{2}{（x-4）^{2}}$，
令f′（x）=0得x=4-$\sqrt{2}$，
∴當0＜x$＜4-\sqrt{2}$時．f′（x）＞0，當4-$\sqrt{2}$＜x＜3時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，4-$\sqrt{2}$）上單調遞增，在（4-$\sqrt{2}$，3）上單調遞減，
∴當x=4-$\sqrt{2}$時，f（x）取得最大值6-2$\sqrt{2}$．
∴所有游客的步行距離之和的最大值為20000×（6-2$\sqrt{2}$）=40000（3-$\sqrt{2}$）km．

點評 本題考查了函數解析式的求解，函數的單調性判斷與最值計算，屬于中檔題．