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3.已知$\overrightarrow{a}$=(cosωx,sinωx),$\overrightarrow{b}$=(2cosωx+sinωx,cosωx),x∈R,ω>0,記$f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b$,且該函數的最小正周期是$\frac{π}{4}$.
(1)求ω的值;
(2)求函數f(x)的最大值,并且求使f(x)取得最大值的x的集合.

分析 (1)由已知向量的坐標利用數量積可得f(x)的解析式,再由降冪公式結合輔助角公式化簡,由周期公式求得ω值;
(2)由f(x)=$\sqrt{2}$sin(8x+$\frac{π}{4}$)+1,可知當8x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ,即x=$\frac{π}{32}$+$\frac{kπ}{4}$(k∈Z)時,sin(8x+$\frac{π}{4}$)取得最大值1,并由此求得求使f(x)取得最大值的x的集合.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow{a}$=(cosωx,sinωx),$\overrightarrow{b}$=(2cosωx+sinωx,cosωx),
∴f(x)=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cosωx•(2cosωx+sinωx)+sinωx•cosωx
=2cos2ωx+2sinωx•cosωx=2•$\frac{1+cos2ωx}{2}$+sin 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx+1
=$\sqrt{2}$sin(2ωx+$\frac{π}{4}$)+1.
∴f(x)=$\sqrt{2}$sin(2ωx+$\frac{π}{4}$)+1,其中x∈R,ω>0.
∵函數f(x)的最小正周期是$\frac{π}{4}$,可得$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{4}$,∴ω=4;
(2)由(1)知,f(x)=$\sqrt{2}$sin(8x+$\frac{π}{4}$)+1.
當8x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ,即x=$\frac{π}{32}$+$\frac{kπ}{4}$(k∈Z)時,sin(8x+$\frac{π}{4}$)取得最大值1,
∴函數f(x)的最大值是1+$\sqrt{2}$,此時x的集合為{x|x=$\frac{π}{32}$+$\frac{kπ}{4}$,k∈Z}.

點評 本題考查平面向量的數量積運算,考查y=Asin(ωx+φ)型函數的圖象和性質,是中檔題.

練習冊系列答案
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